Какую долю занимает четверть?

В 2011 году в журнале Наука и Жизнь появилась статья «Полезная геометрия», в которой читателю предлагалось отмерить половину или четверть (цилиндрического) стакана без подручных средств. В статье утверждается, чтобы отмерить половину, достаточно слить (или высыпать) его содержимое стакана так, чтобы остаток полностью закрывал дно, а для четверти — доходил ровно до середины дна. Если с первым утверждением можно легко согласиться, так как форма содержимого симметрична форме оставшегося воздушного пространства, то с четвертью все не так просто. Попробуем проанализировать ситуацию с помощью воображения и следующей картинки.

Имея подобный рисунок, можно проследить, что форма содержимого не симметрична форме воздуха, дополняющего его объем до половины стакана. А именно, хотя соприкасающаяся поверхность априори равна, площадь полукругов тоже ровна (дно и горло стакана), но у воздушной формы верхняя часть составлена прямоугольником, тогда как объем содержимого скошен снизу формой стакана.
Если кому-нибудь интересно доказательство данного утверждения, или может быть хочется узнать какую же именно часть будет занимать «четверть», предлагаю ознакомиться со следующими математическими выкладками.

Постановка задачи

В начале мы определим объем содержимого стакана, затем, чтобы проверить верно ли решение, посмотрим, равна ли половине объема цилиндра сумма объемов содержимого и дополняющей его части до половины стакана.
В общем случае объем определяется как площадь, умноженная на длину. В данном случае, так как площадь сечения фигуры (поперек цилиндра) меняется с его длинной, решением будет выразить площадь сечения через длину и проинтегрировать по ней.

Объем содержимого

Приступим к определению объема содержимого. Начнем c площади сечения.
Если рассматривать круглое сечение стакана, приходит идея, что можно выразить площадь содержимого через угол, образованный линиями, соединяющими края содержимого с центром окружности, назовем его углом φ.

Как известно, площадь круга равна πR². Тогда площадь сектора (S₁), образованного углом φ, будет относится к площади всего круга как угол φ к 360° или 2π. В формульной записи:

	(1)

Площадь сектора S₁ состоит из искомой площади S₃ и площади треугольника над ней S₂. Площадь треугольника можно определить через его половинку, заштрихованную на рисунке ниже.

Будучи прямоугольным треугольником, его площадь будет произведением катетов, деленная пополам, а так как площадь искомого треугольника вдвое больше, то просто произведению прилежащего и противолежащего катетов к углу φ/2. Вспоминаем из тригонометрии, что длина прилежащего к углу катета равна Rcos(α), а противолежащего -Rsin(α). Тогда площадь искомого треугольника равна:

	(2)

Зная, что sin(2α) = 2sin(α)cos(α), мы можем преобразовать это выражение:

	(3)

Тогда искомая площадь содержимого равна:

	(4)

Осталось выразить ее через длину цилиндра, чтобы стало возможным проинтегрировать для получения объема. Обратимся к рисунку сверху. Очевидно, что при сечении цилиндра в разных местах по его длине мы будем получать разную площадь среза содержимого и соответственно, разный угол φ. Высота среза содержимого, назовем ее l₁, изменяется от 0 до радиуса цилиндра R, а расстояние между горлом стакана и срезом, h₁, - от нуля до длины цилиндра H. Так как треугольник со сторонами H и R и треугольник со сторонами l₁ и h₁ подобны (их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны), l₁ относится к R так же как h₁ к H:

	(5)

Если посмотреть на две проекции одновременно, можно заметить, что прилежащий к углу φ/2 катет (выраженный как Rcos(φ/2)) равен разнице радиуса R и высоты среза содержимого l₁:

	(6)

Подставляя в это выражение значение l₁ выведенное в (5), получаем:

	(7)

Делим обе части на R:

	(8)

Выражаем φ:

	(9)

Теперь полученное значение φ мы можем подставить в выражение площади сечения содержимого (4), получая, как и требовалось, ее зависимость от изменения расстояния между горлом стакана и срезом, h₁:

	(10)

Для упрощения временно заменим (1-h₁/H) на x. Так как sin(2α)=2sin(α)cos(α):

	(11)

Заменяя x обратно на (1-h₁/H) и подставляя выражение (11) в (10), получаем:

	(12)

Итак, площадь сечения содержимого выражена через расстояние от горла стакана до этого сечения. Можно приступить к интегрированию.
Объем содержимого равен площади сечения (12), проинтегрированной по всей длине цилиндра:

	(13)

Тогда как искушенный читатель может попробовать свои силы в решении данного выражения самостоятельно, для ценителей времени предлагается воспользоваться свободной программой для аналитических вычислений wxMaxima (аналог MathСad). Решением этого интеграла является:

	(14)

Сразу можно сказать, что полученный результат не равен четверти цилиндра πR2H/4.

Объем пространства до половины стакана

Теперь, чтобы убедиться в нашей правоте, нам нужно определить объем части, дополняющий объем содержимого до половины стакана. Алгоритм действий такой же, только теперь мы концентрируемся на фигурах, заштрихованных на рисунке ниже.

Площадь сечения определить уже легче, так как мы знаем площадь сечения содержимого S₃ (4). Искомая площадь равна всего-то разнице площади полукруга πR2/2 и найденной площади содержимого:

	(15)

Далее нам нужно выразить угол φ через длину цилиндра, что мы делаем аналогично, только теперь, так как треугольник на продольном сечении перевернут относительно такового для содержимого, находим эту зависимость следующим образом:

	(16)

	(17)

	(18)

	(19)

	(20)

Подставляем полученное значение φ в уравнение площади (15):

	(21)

Упрощаем последнее слагаемое этого выражения аналогично (11, 12):

	(22)

И получаем упрощенное уравнение площади сечения, подставляя (22) в (21) и внося ½ в скобки:

	(23)

Теперь для получения объема интегрируем полученное выражение по длине цилиндра:

	(24)

Получаем следующий результат:

	(25)

Проверка

Попробуем сложить полученные объемы фигур и проверить, равен ли результат половине объема цилиндра:

	(26)

Все верно, сумма объемов содержимого и пространства над ним до половины дают нам ровно половину объема цилиндра.

Чему же равна четверть

Чтобы понять, какую же долю составляет «четверть», найдем отношение объема «четверти», V1, к объему всего цилиндра:

	(27)

Итак, объем содержимого стакана, если выливать его, пока оно не откроет ровно половину дна, на 4% меньше четверти.
В реальности редкий стакан будет строго цилиндрической формы. Однако, для усеченного конуса эта разница будет еще больше. Но не смею отнимать у вас удовольствие доказать это самостоятельно :)
Конечно, большинство кулинарных рецептов не требуют такой точности, поэтому мы можем позволить себе пользоваться этим методом, считая четвертью 21% объема стакана :)

Дополнительная литература и источники:

• Статья в журнале Наука и Жизнь "Полезная геометрия"
• Тригонометрия
• Интегральное исчисление
• wxMaxima на sourceforge.net
• FreeCAD
• Справка по Math